Matemágica 1

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por Adrián Paenza

Quiero proponer un truco que los magos hacen con un mazo de cartas. Voy a hacer lo siguiente: lo voy a describir (al truco) y luego, la/lo voy a dejar pensando en cómo se resuelve.

Un mago elige un espectador de la sala. Lo invita a sentarse a la mesa enfrente de él. Cubriendo la mesa hay un mantel opaco que no permite ver qué es lo que pasa debajo de ella. El mago le muestra al público (y a la persona que tiene sentada enfrente) que arriba de la mesa hay un mazo de 40 cartas españolas (las que se usan para jugar al truco o a la escoba de 15).

Todas las cartas están boca abajo (o sea, sin que se vea el número que tienen). El mago mezcla bien, elige las 10 primeras y las da vuelta. Las deja en el mazo, pero ahora es posible ver el número en cada una de ellas.

Luego le ofrece el mazo al espectador y le pide que las mezcle, pero sin alterar el estado de cada una. Es decir: las que están “boca arriba” deben quedar así, y las 30 restantes, “boca abajo”. La diferencia es que ahora quedaron intercaladas en el mazo al azar.

El mago le dice que ponga ahora las cartas abajo de la mesa, y que elija diez cartas cualesquiera (otra vez, sin alterar la posición) y que se las entregue. El espectador obedece. Selecciona diez cartas cualesquiera y se las pasa al mago (siempre sin que ninguno de los dos pueda ver lo que está sucediendo). Una vez completado este procedimiento, el espectador tiene en sus manos 30 cartas y el mago 10. Ambos las sostienen debajo de la mesa.

El mago le dice: “De las 10 cartas que usted me pasó, ni yo ni usted sabemos cuántas hay ‘boca arriba’ y cuántas hay ‘boca abajo’. Con todo, como yo tengo 10 y usted 30, lo más probable es que usted tenga más ‘boca arriba’ que yo. Por eso, déjeme manipular las cartas un poquito”.

El resto del público y el espectador ven que el mago hace algunos movimientos con sus brazos e intuyen que está haciendo “algo” con las cartas. En poco tiempo más, el mago pone las 10 cartas que él tiene arriba de la mesa. Separa las cartas de las cuales se ve el número y las cuenta.

Le pide ahora al espectador que ponga arriba de la mesa las 30 cartas que tiene él, y le dice que cuente cuántas cartas tiene él boca arriba.

Para sorpresa de todos, ambos, el mago y el espectador, tienen el mismo número de cartas boca arriba. ¿Cómo hizo? ¿Cómo se hace?

Créame que lo más interesante de todo es poder dedicarse un rato a pensar qué es lo que haría usted. No hay trampas (obviamente), nadie puede “detectar con el tacto” qué cartas tienen el lomo hacia arriba o al revés. La mesa no es transparente, y no hay ninguna persona abajo de ella.

Ahora les toca a ustedes dos: a usted y... al problema.

Solución

El mago tiene 10 cartas en su poder. Algunas, boca abajo; otras, boca arriba. Sólo a manera de ejemplo, suponga que tiene únicamente dos cartas boca arriba.

Esto significa que suceden dos cosas:

a) El mago tiene ocho cartas boca abajo (ya que tenía en total 10).

b) Usted tiene ocho cartas boca arriba (ya que había en total 10 boca arriba y el mago tiene dos).

Es decir: el mago tiene tantas cartas boca abajo como las que usted tiene boca arriba.

Luego, si el mago da vuelta todas las cartas que tiene, ahora tiene ocho cartas boca arriba (¡igual que usted!) y dos cartas boca abajo, que no tienen importancia.

Es decir, al dar vuelta todas las cartas (las diez cartas) están convirtiendo en boca abajo las que estaban boca arriba (dos, en este caso) y en boca arriba, las que estaban boca abajo (ocho en este ejemplo). Pero lo notable es que, al hacerlo, justamente logra que la cantidad de cartas que usted y él tienen boca arriba sea la misma... que es lo que quería conseguir.

Por supuesto, si en lugar de haber habido dos cartas boca arriba, hubiera habido siete (por usar otro ejemplo), el procedimiento es el mismo. El mago tiene que dar vuelta todas las cartas que tiene, las 10. En este caso, si tiene siete cartas boca arriba, tiene tres boca abajo... pero el espectador tiene justamente tres boca arriba.

La clave del truco es que el mago tiene siempre boca abajo el mismo número de cartas que usted tiene boca arriba. Cuando el mago da vuelta todas las cartas que tiene, logra que las tres que él tiene boca abajo, se transformen ahora en boca arriba, y de esa forma tiene el mismo número de cartas en esa posición que el espectador.

Lo dejo a usted para que piense por qué estos dos ejemplos que puse son suficientes para resolver el problema en el caso general, cualquiera sea el número de cartas que tenga el mago boca arriba.

No hay trampa, no hay nada raro. Es sólo una manera de usar la lógica, la matemática... y ¡la magia!

* Matemágica es el nombre con el que se identifica a la “fusión” (o trabajo conjunto) que hay entre la magia y la matemática. Mucha gente se dedica a aprovechar los recursos que ofrece la ciencia para poder elaborar distintos trucos (como el que aparece más arriba). Cada vez se escribe más sobre el tema y hay congresos internacionales en donde magos y matemáticos se estimulan mutuamente para generar y resolver nuevos problemas y/o acertijos de distinto tipo.

Esta manera de usar la nota que publiqué en Página/12 el 29 de abril de 2008, la descubrí en un artículo que escribió Martin Gardner (uno de los “gurúes” de la Matemática Recreativa) en una de sus columnas en la revista Scientific American. De hecho, entonces, el crédito es todo para él.

Diario Página12 8/7/2008.-



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Cien monedas, diez “caras”: el desafío

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por Adrián Paenza

El siguiente problema es uno de los más lindos que conocí para testearse personalmente.

Téngame confianza: lea el enunciado pero no lea la solución. Tómese tiempo. Llévelo con usted. Al principio le va a parecer imposible de resolver. Y después, cuando haya encontrado la solución, va a pensar “¿cómo puede ser que no se me haya ocurrido antes?”.

Por otro lado, aunque ya sea redundante en estas columnas, créame que no hay trampa, no hay nada que usted no pueda hacer ni entender. Sólo hace falta pensar. Y disfrutar al hacerlo.

Acá va: se tienen 100 (cien) monedas apoyadas en una mesa. De ellas, 10 (diez) son “caras”. Las otras 90 (noventa) son “cecas”.

Las monedas son todas iguales, salvo que hay diez apoyadas de una forma y las restantes, de la otra. Ahora, yo le tapo los ojos con un pañuelo. Revuelvo las monedas para que usted no pueda recordar ni saber dónde estaban unas y otras (caras y cecas).

El problema que usted tiene que resolver es el siguiente: tiene que separar las monedas en dos grupos –no necesariamente iguales–, de manera tal que queden el mismo número de “caras” en un grupo que en el otro.

Está permitido que usted (siempre sin mirar) dé vuelta las monedas tantas veces como quiera, las de cualquiera de los grupos. Pero lo que usted tiene que poder garantizar es que cuando terminó el proceso, haya tantas “caras” en un grupo como en el otro.

Ahora lo dejo a usted. Le anticipo de todas maneras que aunque no parezca posible (sin “espiar” o “hacer trampa”) el problema tiene solución. También lo invito a que siga con otra parte del diario y solamente vuelva (si quiere) cuando le haya dedicado un rato para pensarlo.

Eso sí. Es muy poco probable que a uno se le ocurra de entrada pero, como escribí más arriba, tiene una solución sencilla y al alcance de todos.

Solución

Yo sabía que usted iba a volver, pero lo imagino acá sólo porque quiere corroborar que lo que usted encontró es lo mismo que le voy a proponer yo.

Si pensó mucho y al final se aburrió y/o no le salió, le propongo que haga lo que hacemos los matemáticos cada vez que tenemos un problema de este tipo: tratar de simplificarlo. Es decir, considerar “casos particulares”, con menos monedas. Intente con cuatro monedas en donde sólo una de ellas sea “cara”, o con seis monedas y dos “caras”. Pero no se dé por vencido. ¿Qué gracia tiene leer lo que sigue?

Ahora, claro, si ya llegó a un punto en donde está dispuesto a explotar (o a romper el diario), siga leyendo. Acá abajo está la solución.

Lo que uno tiene que hacer es elegir cualquier grupo de diez monedas. No importa la forma en que uno las elija. Sólo separe diez monedas de un lado (o sea, deja las otras 90 formando el otro grupo). Entonces dé vuelta las 10 que eligió (es decir, las que son “caras” pasan a ser “cecas” y viceversa).

¿Qué pudo haber pasado? Muchas cosas. Usted pudo haber dejado las diez “caras” entre las 90 que están en uno de los grupos. En ese caso, las diez que usted eligió para el otro grupo son cecas. ¿Qué pasa si usted las da vuelta?: esas diez quedan todas caras. Y del otro lado, usted ya sabía que había diez caras también.

O sea, que este sistema, en este caso, funcionó para obtener la solución. Pero me lo imagino pensando: “sí, funcionó, pero justo en este caso porque yo dejé las diez caras en el grupo de 90”. La pregunta que sigue es si esa solución servirá siempre. Por ejemplo, si al haber separado las diez hubiera incluido cuatro que fueran caras, ¿funcionará también? (Aquí, usted debería seguir sola/solo otra vez.)

Continúo: si usted eligió diez monedas, de las cuales cuatro son caras, quiere decir que en el grupo de 90 quedaron las otras seis (caras). Pero también significa que en el grupo de diez hay cuatro caras y seis cecas. Si usted las da vuelta, como yo hice en el ejemplo anterior, quedan ¡seis caras en el grupo de diez y seis caras en el grupo de 90!

Es decir, el problema vuelve a quedar solucionado. ¿Qué le parece que puede pasar si al elegir las diez monedas usted se quedaba con siete caras? ¿Quiere pensarlo usted?

Como advierte (si es que sigue con el razonamiento), el problema está solucionado. Todo lo que hay que hacer es separar (en cualquier caso) diez monedas de cualquier forma, y darlas vuelta. Eso garantiza que haya tantas caras de un lado como del otro.

¿Es anti-intuitivo? No sé. Creo que no. Lo que a uno le pasa es que pelea contra la noción de que el problema no tiene solución y, por lo tanto, no quiere pensar. Pero anti-intuitivo no me parece que sea.

¿No le resultó interesante? Es que muchas veces la solución está ahí, enfrente de nuestra nariz, pero uno, como intuye que deber ser muy complicada, se resiste a pensar. Abandona antes de empezar (casi). En particular, si uno tiene la tendencia a no creerse capaz ni potente para resolver problemas. Eso queda para los otros. Pero usted, ¿no forma parte de “los otros”?

Nota: El problema fue planteado por C. E. Mungan, en el otoño del año 2005, pero creo que ya ha circulado por tantos lugares, que ni siquiera estoy seguro de que fuera él el primero. Pero no importa. Lo único que quiero es no quedarme con un crédito que no me corresponde.

Diario Página12 29/4/2008.-


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