La conjetura de Kepler

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Un formidable reto matemático

Pasaron siglos para que se pudiera demostrar lo que sabe todo vendedor de frutas que se respete: que la mejor manera de apilar naranjas es ponerlas en pirámide.

por Daniel Martín Reina
es físico, egresado de Ciencias Físicas de la Universidad de Sevilla.


La evolución de la ciencia ha sido muy rápida en el último siglo, pero antiguamente se vio frenada por las creencias populares. Por ejemplo, durante la Edad Media se creía en las propiedades mágicas de la bilis de una serpiente, el cuerno de un rinoceronte o incluso la sangre de un dragón. Con el paso del tiempo, la ciencia fue convenciendo a muchos supersticiosos del poco sentido que tenían éstas y otras creencias.

Pero en algunas ocasiones ha ocurrido al revés, y la ciencia no ha hecho más que confirmar lo que la sabiduría popular ya conocía desde siempre. Es el caso de la llamada conjetura de Kepler, en la que este científico alemán del siglo XVII daba respuesta a la siguiente pregunta: ¿cuál es la forma más eficaz de apilar esferas del mismo tamaño? Es decir, ¿cómo hay que acomodarlas para que ocupen el menor espacio posible? Desde hace casi cuatro siglos muchos han sido los matemáticos que han intentado demostrar la solución de Kepler, pero todos fracasaron. Finalmente, después de 10 años de investigación —y gracias a la inestimable ayuda de las computadoras—, el matemático Thomas Hale ha podido demostrar que, tal y como había afirmado Kepler, la respuesta es el apilamiento piramidal.

Para el frutero de tu barrio este anuncio no será ninguna sorpresa: así es como coloca a diario, cuidadosamente, las naranjas, los tomates y las manzanas.

Un problema de toda la vida

La conjetura de Kepler forma parte de ese selecto grupo de problemas matemáticos que siempre han fascinado por igual a expertos y profanos. Por un lado, su enunciado y los conceptos que se manejan son muy sencillos. Apilar objetos —ya sean esferas, cubos o cualquier otro sólido— es uno de los primeros juegos que practicamos en nuestra infancia. Y en la vida cotidiana siempre perseguimos la manera más eficaz de realizar cualquier acción. Así que la conjetura de Kepler puede entenderse sin ser especialista en matemáticas.

Pero una cosa es que sea fácil de entender y otra que sea fácil de resolver. Detrás de esa aparente simplicidad se esconde un reto formidable. Esto hizo que, con el paso del tiempo, el interés de la comunidad científica fuera aumentando. Así, a principios del siglo XX, el matemático alemán David Hilbert redactó una lista de los 23 grandes problemas matemáticos que quedaban por resolver. La conjetura de Kepler era uno de ellos.

Hay otro aspecto del asunto que ha llamado la atención del gran público: su parecido con el último teorema de Fermat (véase “El último teorema de Fermat”, ¿Cómo ves? No. 18), uno de los problemas matemáticos más famosos de todos los tiempos: ambos fueron planteados hace varios siglos por dos científicos que han pasado a la historia de la ciencia, y ambos han sido resueltos en los últimos años. También comparten una larga lista de intentos que no llegaron a buen puerto, lo que incluye hasta demostraciones de ambos problemas que luego resultaron ser falsas. Puestos a encontrar semejanzas, incluso las dos auténticas demostraciones han sido publicadas en la misma revista, la prestigiosa Annals of Mathematics.

A pesar de los evidentes paralelismos entre ambos problemas, hay un punto que los separa definitivamente. La demostración del teorema de Fermat, realizada por el matemático inglés Andrew Wiles en 1993, es la consecuencia de profundos desarrollos teóricos obtenidos con lápiz y papel, al más puro estilo matemático. Sin embargo, para la conjetura de Kepler el catedrático estadounidense Thomas Hale se ha ayudado de potentes herramientas informáticas, sin las cuales no hubiese podido realizar la enorme cantidad de cálculos necesarios para su demostración.

Vamos a apilar naranjas

Todo empezó a principios del siglo XVII, cuando el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler se interesó en el estudio de las distribuciones de esferas en el espacio. Fue entonces cuando se preguntó cuál sería la manera más eficaz de juntar esferas del mismo tamaño.

Si la pregunta hablara de cubos, la cosa sería de lo más sencilla. Puedes formar cualquier figura con cubos y juntarlos de manera que no haya sitio entre ellos ni siquiera para un soplo de aire. Sin embargo, las esferas se pueden disponer en el espacio de muchas maneras distintas, pues siempre quedarán huecos entre ellas porque no encajan perfectamente. Por lo tanto, lo que Kepler buscaba era la distribución que deja menos huecos.

Tú mismo puedes probar diversas maneras de apilar esferas. Por ejemplo, puedes tomar 25 naranjas, colocarlas en una capa plana de 5 x 5 y a continuación poner otra capa idéntica de naranjas justo encima. Esta forma de distribuir esferas se conoce como una red cúbica simple. Para calcular lo buena que es esta distribución, se utiliza el concepto de densidad de empaquetamiento, que es la proporción del volumen total de la distribución que no tiene huecos. En el caso de los cubos, la densidad de empaquetamiento sería de 100%, porque no hay huecos. Sin embargo, la red cúbica simple para esferas tiene una densidad de empaquetamiento de apenas 52%, lo que significa que estás amontonando casi tanto aire como naranjas. ¡Y eso suponiendo que las naranjas no hayan echado a rodar!

Esta manera de apilar naranjas se puede mejorar partiendo de la misma capa inicial, pero sin colocar la siguiente capa justo encima como antes. En vez de eso, puedes situar otra capa haciendo que cada naranja descanse en el hueco que forman las cuatro naranjas de debajo. Este empaquetamiento recibe el nombre de red cúbica centrada, y su densidad de empaquetamiento sube a 74% (exactamente es π/ 18 ≈ 0 .7404). Si colocas de esta manera varias capas, puedes llegar a construir una jugosa pirámide de naranjas. Por eso esta distribución también suele llamarse piramidal, y no sólo era la figura preferida de antiguas civilizaciones como los aztecas, teotihuacanos y egipcios. También es muy apreciada por los fruteros, quienes recurren habitualmente a este sistema para apilar sus productos. No es sólo una cuestión de estética, sino que también es más práctico.

La hipótesis de Kepler

Por supuesto, hay otras muchas maneras de colocar las naranjas. Pero Kepler afirmó que ninguna de ellas podría superar la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada: da igual cómo ordenes las naranjas, su densidad será, en el mejor de los casos, de 74%. Sin embargo, Kepler no pudo respaldar esta afirmación con una demostración matemática. Entonces, ¿cómo llegó a esta conclusión? Parece muy difícil que probase una a una todas las formas de disponer naranjas en el espacio. Quizás simplemente dijo lo que dijo por sentido común, intuición matemática o incluso desesperación. En cualquier caso, eso no basta en matemáticas si no se acompaña de una demostración. Por eso a esta hipótesis se le llama la conjetura de Kepler, en vez de la prueba de Kepler o la demostración de Kepler.

Dicho esto, hay que admitir que, si no se conoce ninguna distribución que mejore la red cúbica centrada, sí hay una que la iguala. Se puede construir de la siguiente manera: se coloca una naranja en el centro y se disponen a su alrededor, en contacto con ella, cuantas naranjas sea posible (si todas tienen el mismo tamaño, deben ser seis), como ocurre con las celdas de un panal de abejas. La primera capa se formaría repitiendo este patrón. La siguiente capa se construye igual, aprovechando para ello los huecos que dejan las tres naranjas de la capa inferior, y así sucesivamente con el resto de las capas. Esta distribución se llama hexagonal porque los centros de las naranjas que rodean a la naranja central forman un hexágono regular.

Si se puede igualar la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada, ¿cómo garantizar que no haya otra forma de colocar las naranjas que consiga mejorarla? La única manera de zanjar la cuestión es demostrando matemáticamente si la conjetura de Kepler es cierta o no.

El camino hacia la demostración

El gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss dio el primer paso en 1831. Gauss demostró que la conjetura de Kepler es cierta si las esferas están dispuestas en una red regular. Es decir, cuando las naranjas se colocan siguiendo un patrón determinado, entonces la densidad de empaquetamiento máxima que se puede conseguir es la de la red cúbica centrada. Por lo tanto, aunque Gauss no fue capaz de resolver el problema, al menos sí lo simplificó: nos podemos olvidar de las distribuciones regulares de esferas y centrarnos únicamente en las irregulares, ya que sólo éstas podrían incumplir la conjetura de Kepler.

Aún así, el problema sigue siendo muy complicado, porque hay muchísimas más distribuciones de esferas irregulares que regulares. Puedes llenar tantas veces como quieras una caja con naranjas colocándolas de cualquier manera, sin ningún orden ni concierto, y seguro que la distribución de naranjas resultante será distinta cada una de las veces.

Además, por ser irregulares, este tipo de distribuciones tienen un problema añadido: la densidad de empaquetamiento no es homogénea en toda distribución. Habrá zonas en las que las naranjas estén más apretadas, mientras que en otras estarán más separadas. Al final, la densidad de empaquetamiento de una distribución es el resultado de todas esas pequeñas contribuciones. Y para poder demostrar la conjetura de Kepler habría que tener en cuenta esto en cada una de las incontables maneras de distribuir naranjas. Por eso es un problema tan difícil de resolver.

Sin embargo, en la segunda mitad del siglo XX, los matemáticos consiguieron avances significativos. En 1953, el matemático húngaro László Fejes Tóth redujo el problema a un enorme cálculo, e incluso propuso un método para resolverlo mediante una computadora. Más tarde, el estadounidense Thomas Hales tomó el trabajo de Fejes Tóth y demostró que para calcular la densidad de empaquetamiento de cualquier distribución bastaba con tener en cuenta sólo 50 esferas. Así, Hales consiguió describir el volumen de una distribución mediante una descomunal función de 150 variables. Cada una de estas variables debería ir cambiando de valor para representar todas las configuraciones posibles que había que considerar, más de 5 000 en total.

El planteamiento de Hales era muy sencillo: cuanto menor sea el volumen que ocupa una distribución, mayor será su densidad de empaquetamiento. Como la función de Hales representaba precisamente el volumen de una distribución, bastaba calcular el límite inferior de su función para todas estas configuraciones —el volumen mínimo que ocuparían— y compararlo con el volumen calculado para una red cúbica centrada. Si este valor era menor que el de todas las otras configuraciones, entonces la conjetura de Kepler quedaría demostrada.

Con este fin Hales inició una investigación en 1992 para desarrollar programas informáticos que encontrasen los límites inferiores de su función para cada una de las más de 5 000 configuraciones diferentes. Esta ardua tarea implicaba resolver alrededor de 100 000 problemas de programación lineales. Después de seis años, Hales anunció que ninguna de las configuraciones de esferas analizadas mejoraba la densidad de empaquetamiento de la red cúbica centrada. Por lo tanto, la conjetura de Kepler era cierta.

La polémica

Demostrar un problema matemático tan antiguo debería haber supuesto un motivo de satisfacción para la comunidad científica. Sin embargo, la manera de resolver la conjetura de Kepler ha levantado más de una ampolla entre los matemáticos. La prueba de Hales se basa en el llamado “método de fuerza bruta”, en el que se prueban muchos casos particulares aprovechando la potencia que nos brindan las computadoras actuales. Esta técnica, que ha resultado muy eficaz para demostrar que la conjetura de Kepler es correcta, no sirve para explicar por qué lo es. No hay ningún proceso lógico que al seguirlo nos permita llegar a la conclusión deseada, como se hace en cualquier demostración matemática tradicional. Para muchos matemáticos, sin menospreciar el trabajo de Hales, se podía haber llegado a la misma conclusión hace mucho tiempo de haber contado entonces con las potentes computadoras que tenemos ahora. ¿Hasta qué punto puede ser una demostración un razonamiento que se basa en un cómputo enorme y tan difícil de comprobar.

Lo cierto es que la computadora es una herramienta muy útil y casi imprescindible en la ciencia actual. Gracias a ella, los físicos simulan procesos tan complejos como la evolución de las estrellas o el choque entre galaxias. Y como ellos, químicos, biólogos y geólogos se aprovechan de su enorme capacidad de cálculo para desarrollar programas informáticos que les ayuden en sus investigaciones. ¿Por qué iban a ser menos los matemáticos? Si las computadoras consiguen resolver cálculos rutinarios y liberar así de este laborioso trabajo a los matemáticos, bienvenidas sean.

Mientras tanto, ajeno a todo este debate, el frutero de tu barrio seguirá colocando las frutas como siempre. Al menos ahora todos estarán de acuerdo en que no hay otra manera mejor de hacerlo.

El origen de la conjetura

Sir Walter Raleigh (1554-1618) fue un poeta y aventurero inglés que participó en numerosas expediciones de piratería contra los españoles, fundó la primera colonia inglesa en Norteamérica, introdujo la papa y el tabaco en Inglaterra y buscó sin éxito la legendaria ciudad de El Dorado.

Su influencia en la corte inglesa fue tal que Raleigh llegó a ser armado caballero por la reina Isabel I. Sin embargo, la reina descubrió poco después que se había casado en secreto con una de sus damas de honor, lo que supuso su caída en desgracia y su encarcelamiento en la torre de Londres. El sucesor de Isabel, el rey Jacobo I, acusó a Raleigh de conspiración y lo sentenció a cadena perpetua. Durante su encarcelamiento de 13 años Raleigh escribió numerosos poemas y valiosas obras, incluyendo el primer volumen de su Historia del mundo. Aunque tras su liberación volvió a dirigir una expedición a América, el fracaso de ésta hizo que a su regreso el rey le hiciera decapitar.

A todos los logros que consiguió Raleigh en su intensa vida hay que añadir otro muy importante para nuestra historia: él tuvo buena parte de la culpa de la conjetura de Kepler. Parece ser que mientras se preparaba para una de sus expediciones, y acuciado por la falta de espacio, Raleigh se dirigió a su asistente, el matemático Thomas Harriot, y le preguntó si conocía algún método sencillo para resolver un problema típico que se les presentaba en aquellos tiempos a los marinos: ¿cuántas balas de cañón se pueden apilar en la cubierta de un barco? Harriot, quien luego pasaría a la historia por ser el primer matemático en utilizar los símbolos > (“mayor que”) y < (“menor que”), no tuvo dificultad en responderle.

Gracias a la pregunta de Raleigh, Harriot empezó a estudiar en profundidad distintas formas de empaquetar esferas, ya fuesen balas de cañón o naranjas. Años después, cuando mantuvo una correspondencia con su colega Johannes Kepler, Harriot le transmitió su interés por este tipo de problemas. El resto ya es historia.


"Una demostración peliaguda"


Sin duda, publicar un artículo en la revista Annals of Mathematics es uno de las máximas aspiraciones de cualquier matemático. Editada en Princeton, Estados Unidos, conjuntamente por la Universidad de Princeton y el Instituto de Estudios Avanzados, esta revista lleva más de 100 años haciendo las delicias de los matemáticos de todo el mundo.

Los requisitos para aparecer en las páginas de Annals son muy estrictos. Cada artículo se somete a un cuidadoso análisis para comprobar la veracidad y originalidad de sus resultados. Esto provoca que suelan pasar cerca de dos años entre el envío de un trabajo y su publicación. Este retraso, que puede resultar molesto para el autor, supone sin embargo una garantía de calidad de los artículos publicados.

Cuando Thomas Hales envió la prueba de la conjetura de Kepler, la revista se enfrentó a un enorme desafío. La demostración de este histórico problema ocupaba nada menos que 250 páginas, además de tres gigabytes de datos y códigos que había que revisar. Para ello, Annals seleccionó a 12 científicos de reconocido prestigio, al frente de los cuales estaba Gabor Fejes Tóth, el hijo de László. Estos científicos consumieron la mayor parte de sus energías en la tarea de verificar si los programas informáticos del profesor Hales daban los resultados esperados y no se equivocaban. Realizar estas comprobaciones en los 3 000 millones de bytes de código puede resultar tan ameno como comprobar uno a uno los números de teléfono del directorio de la Ciudad de México.

Después de varios años de intenso trabajo, el comité de expertos tiró la toalla, reconociendo su incapacidad para verificar, en un tiempo razonable, todas y cada una de las partes de la demostración de Hales. En vez de eso, realizaron las comprobaciones necesarias para afirmar que la demostración es correcta con un 99% de probabilidad. Digamos que se tuvieron que conformar con consultar varios números de teléfonos por página. Y todos estaban bien.

En toda la historia de Annals, jamás se había producido una situación como ésta. Después de mucho meditar, la dirección de la revista tomó una decisión salomónica, y dividió la demostración en dos: por un lado, la parte teórica, y por otro, los algoritmos informáticos. Así, decidió publicar la primera, que se habían comprobado de la manera tradicional, pero añadiendo una nota en la que se advierte que la prueba depende de un programa informático que aparecería en otra revista de computación.

Finalmente, en noviembre de 2006, la prueba de la conjetura de Kepler apareció en Annals of Mathematics, mientras que el programa informático se publicó en Discrete and Computational Geometry.

Revista ¿Como ves?
UNAM - Universidad Nacional Autónoma de México

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