por Adrián Paenza
Una rama de la matemática recreativa que ha tenido un desarrollo imponente en los últimos años es la que se llama Matemágica. Justamente, el uso de la aritmética, la geometría, la combinatoria, el álgebra y la topología –entre otras– compone una fuente increíble de recursos para hacer magia. Sí, magia. La misma magia que por más de veinte siglos ha mantenido y mantiene a las personas como usted y como yo preguntándose: ¿cómo hizo?
La idea es sorprender, atentar contra la intuición, desafiar la lógica y hasta llegar a adjudicarle al interlocutor –el mago– recursos sobrenaturales. El desarrollo ha sido espectacular, sobre todo en la última década, y por eso ahora hay congresos y convenciones en distintas partes del globo, en donde magos y matemáticos se empeñan en crear una nueva generación de “matemágicos” y seducir en el trayecto a una buena parte de la población que ve a la matemática como insensible, árida y poco práctica.
En las contratapas de Página/12 del 29 de abril y el 8 de julio de 2008 aparecieron dos problemas que apuntan en esa dirección: la de promover la matemágica. Aquí va un tercero.[1]
Hay un mago que tiene en las manos un mazo de cartas españolas, como las que sirven para jugar a la escoba de 15 o al truco. Por lo tanto, están excluidos los números 8 y los números 9. De hecho, el número 12 (el rey) vale 10 puntos, el número 11 (el caballo) vale 9 puntos y el número 10 (la sota) vale 8 puntos.
El resto de las cartas tienen el valor que indica su número. Por último, para fijar las ideas, los cuatro palos de las cartas son: oros, espadas, copas y bastos. En total, son cuarenta cartas.
El mago entonces le ofrece a una persona que elija un naipe cualquiera, sin que él (el mago) pueda verla. Y le pide que haga las siguientes operaciones:
a) Multiplique por 2 el número de la carta.
b) Al resultado, súmele 1.
c) Al nuevo resultado, multiplíquelo por 5.
d) Para terminar, si la carta que había elegido es de oros, súmele 4. Si es de espadas, súmele 3. Si es de bastos, súmele 2, y si es de copas, súmele 1.
Con esos datos, el mago le pide a la persona que le diga qué número le dio.
La respuesta que obtiene es: 39.
El mago piensa un instante y replica: “Entonces, la carta que usted eligió originalmente era el 3 de oros”.
¿Cómo hizo?
El proceso es muy sencillo. Sólo se trata de pensar una estrategia que permita encontrar la carta seleccionada del mazo y asignarle un número. Claro: el mago tiene que saber qué número le corresponde a cada naipe. Ahora, le toca a usted hacer de mago.
Respuesta
Antes de pensar juntos la solución, veamos que si esta persona había elegido el 3 de oros, el resultado de hacer todas las operaciones lo llevó al número 39.
a) Al multiplicarlo por 2, obtiene el número 6.
b) Al sumarle 1, obtiene el número 7.
c) Al multiplicarlo por 5, obtiene el 35.
Como eligió el 3 de oros, y a las cartas de oros debía sumarles 4, entonces, (35 + 4) = 39. O sea, efectivamente, si hubiera elegido el 3 de oros, el resultado debió ser 39.
¿Cómo hizo el mago para poder deducirlo al revés? Es decir, conociendo el número 39, ¿cómo hizo para volver para atrás?
Acompáñeme en esta reflexión. Usted es el mago y yo soy la persona que eligió la carta, digamos con el número X (que usted todavía no conoce). Pero fíjese qué pasó con las operaciones que usted me pidió que hiciera (con ese número X).
a) Lo multipliqué por 2. Obtuve entonces (2.X).
b) Le sumé 1. Tenía entonces (2.X + 1).
c) Después lo multipliqué por 5 y obtuve
(2.X +1).5 = 10.X + 5, (*)
que es un número múltiplo de 5.
¿Qué pasa cuando le sumo el número para indicar el “palo” que tenía la X? Transformo el resultado en:
1) Un múltiplo de 5 más 4, si la carta X era de oros.
2) Un múltiplo de 5 más 3, si la carta X era de espadas.
3) Un múltiplo de 5 más 2, si la carta X era de bastos.
4) Un múltiplo de 5 más 1, si la carta X era de copas.
Ahora volvamos al número que yo le dije, 39. Como usted advierte,
39 = 35 + 4.
Por lo tanto es un múltiplo de 5 más 4. Luego, usted acaba de descubrir que la carta X que yo elegí es de oros. No sabe todavía cuál es el valor de X, pero sí sabe que es de oros.
Ahora bien, al restarle los 4 que corresponden al palo, ahora usted tiene el número 35. Por lo tanto, si usted se fija en (*), sabe que en este caso:
10.X + 5 = 35 (**)
Luego, se trata de calcular el valor de X en la igualdad (**).
En consecuencia,
10.X = 35 5 = 30, lo que quiere decir, que X = 30/10 = 3.
X = 3
Moraleja: la carta que yo había elegido fue el 3 de oro.
¿Se anima ahora a calcular conmigo qué carta elegí yo si el resultado de las operaciones fue 86?
Piénselo usted por su cuenta y, si quiere, confronte acá abajo lo que le dio.
Primero hay que ver de qué palo es la carta. Para eso, hay que ver que 86 se escribe como 85 (múltiplo de 5) + 1. Esto dice que la carta es de copas.
Una vez que uno tiene el número 85, ahora todo lo que queda por hacer es “despejar” la letra X en la igualdad:
10.X + 5 = 85
10.X = 85 5 = 80, por lo que X = 80/10 = 8.
En consecuencia, la carta elegida fue la sota de copas (ya que la sota, con la convención que habíamos hecho, vale 8 puntos).[2]
[1] El problema me lo sugirió Laura Pe-zzatti, Lic. en Matemática por la UBA y coautora de los contenidos de los programas Alterados por Pi, que se emiten en el Canal Encuentro que depende del Ministerio de Educación de la Nación. A ella le corresponde el crédito de este artículo entonces.
[2] Como se ve, la matemática que se usa es sencilla: sumas, restas, productos, divisiones. Pero también hay un dato no menor que es indispensable para llegar a la solución: cualquier número entero positivo tiene un “único” resto al dividirlo por cinco. Algunos ejemplos: el número 72, al dividirlo por 5, resulta tener resto igual a 2. Es que 72 = 5 x 14 + 2. El número 11 tiene resto 1, ya que 11 = 5 x 2 + 1. Y el 108 tiene resto 3, ya que 108 = 5 x 21 + 3. Y es fácil convencerse de que los posibles restos son 0, 1, 2, 3 y 4. Justamente, en el problema que figura más arriba, ese resto es el que identifica el palo de la carta elegida. Sin este dato, uno podría deducir el número, pero no sabría de qué palo es. O al revés. Si uno sólo supiera el resto que se obtiene al dividir el número por 5, y no tuviera ninguna otra información, sabría el palo de la carta, pero no el número. La combinación de ambos datos permite resolver el problema. Por supuesto, el mago conoce todo esto, que resulta invisible para la persona que hace de interlocutor: usted y yo.
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